Segunda Postagem

• Objetivo Geral:

Construir uma catapulta do tipo trebuchet funcional e eficiente, consoante as especificações exigidas pelos orientadores visando lançar um projetil (bola de golfe) obliquamente de forma a atingir o alcance máximo.

• Objetivos Específicos 

1. Aprofundar nossos conhecimentos referentes a mecânica clássica.
2. Projetar o modelo 3D da catapulta
3. Verificar a teoria presente na literatura
4. Lidar com os desvios inerentes a toda prática 

•  Especificações

Arquitetar e produzir uma catapulta trebuchet com estrutura treliçada seguindo as seguintes especificações: altura entre 500 à 700 mm; largura e comprimento entre 400 à 500 mm; acionada por manivelas e polias.

O sistema de massa móvel (item 1 na figura 1) deve possuir um sustentáculo capaz de suportar 1 quilograma (anilha). Ademais, o sistema de lançamento (item 3 na figura 1) deve ser composto de cabos feitos de cadarço de sapato e o suporte do projétil deve ser feito de couro. Por fim, o sistema de elevação (item 7, 8 e 9 na figura 1) deve ser produzido com roldanas de nylon e cabos feitos igualmente de cadarço de sapato.

                                                  Figura 1. Catapulta do tipo trebuchet.

                                                 Fonte: Wikipédia

• Teoria

Mediante a mecânica clássica, elaborou-se os cálculos envolvidos no projeto catapulta trebuchet de forma a obter sua máxima eficiência.

1 - Lançamento Oblíquo

Quando o movimento de um corpo ocorre apenas num plano, diz-se que este movimento é bidimensional. Neste caso, a posição do objeto é dada através de coordenadas cartesianas P(x,y), conforme indicado na figura a seguir:

                                       
                                          Figura 2. Lançamento oblíquo.

                                          Fonte: osfundamentosdafisica.
                                         

No lançamento oblíquo um corpo é atirado de modo que forma um angulo θ com a superfície. Vale ressaltar que nesta teoria será desconsiderado a resistência do ar bem como será assumido o eixo X como paralelo à superfície e o eixo Y como perpendicular à mesma .

Assim, o objeto está sujeito apenas a aceleração da gravidade, logo, está acelerado apenas na direção y do movimento. Neste caso, sua aceleração (no S.I. em m/s²) é dada por:

onde g = 9,79 m/s². A velocidade (no S.I. em m/s) do corpo, por sua vez, é dada por

Onde analisando individualmente cada componente com t sendo o tempo (em segundos no S.I.) e Vo sendo a velocidade inicial, tem-se que

A posição (no S.I. em metros) é dado por

2 - Ângulo de lançamento para obter o alcance máximo

Conforme dito anteriormente, o corpo possui uma velocidade inicial na direção y bem como uma aceleração nessa mesma direção que é contrária àquela velocidade inicial. Assim, o corpo subirá até atingir uma altura máxima (H na figura 2). Neste momento, sua velocidade vertical Vy é nula. Logo, fazendo Vy = 0 na terceira equação, tem-se o tempo t necessário para anular sua velocidade vertical.

 É fácil observar que o corpo requer o mesmo intervalo de tempo para atingir a superfície. Assim, seu tempo de voo é dado por 2t. Substituindo este tempo de voo na equação 4 da posição x e reorganizando a equação, tem-se

Portanto, o alcance máximo ocorrerá quando o sen(2θ) for máximo, isto é, quando o ângulo de lançamento for θ = 45°.

3 - Torque e Momento de Inercia

Assim como um movimento de translação, um movimento de rotação é causado por um agente externo produzindo uma força. De fato, no movimento de rotação existe uma grandeza física denominada torque (em Newton-metro no S.I.) calculado mediante a seguinte equação.

Aonde r (vetorial) é o vetor posição cuja origem é o eixo de rotação e F (vetorial) é a força aplicada naquela posição. 

Na figura 3, considere uma barra acoplada a um eixo fixo de rotação O. 

                                                 Figura 3. Força F atuando numa barra 

                                                 Fonte: Física.

Se observa que a força F é aplicada numa direção diferente do centro de massa da barra, logo, tal força irá gerar uma rotação em torno do eixo O. Além disso, nota-se da equação 7 que somente a componente da força F perpendicular a barra irá gerar torque. Assim, o torque, ou momento da força, será dado por

Ademais, seja um corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo. Se dividirmos este corpo em várias partes infinitesimais com massa dm que distam r do eixo de rotação, o momento de inércia I (em kg·m² no S.I.) é definido por:

A propósito, a partir do momento de inércia de um corpo em relação a um eixo passando pelo centro de massa, é possível encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo àquele. Isto é feito através do teorema de eixos paralelos. Matematicamente, 

onde I é o momento de inércia em relação ao eixo paralelo àquele, I_(C.M.) é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, m é a massa do corpo e Δx é a distancia entre os eixos.

Finalmente, quando várias forças produzem vários torques, tem-se 

onde t_(i) são os torques gerados por cada força F_(i), I é o momento de inércia do corpo e α é a aceleração angular em relação ao eixo de rotação.  Convém ressaltar que a equação 11 corresponde a segunda lei de Newton para movimento de rotação.

No caso da catapulta trebuchet, tem-se o braço de lançamento que irá girar em torno de um eixo fixo e terá o projetil numa extremidade do braço bem como o contrapeso na outra extremidade.

        Figura 4. Quadro de forças do braço da catapulta trebuchet de comprimento L com eixo de rotação O, contrapeso na posição A e projetil na posição B. 

         Fonte própria.

                                          Figura 5. Catapulta trebuchet arremessando um projetil.

                                          Fonte: dtonline. 

Somando os torques tem-se 

Onde m1,m2 e m são a massa do contrapeso, projetil e barra respetivamente. Como o eixo de rotação não está posicionado sobre o centro de massa da barra, o momento de inércia da barra é calculado através do "teorema dos eixos paralelos" daí 

Mediante a equação 12 calcula-se a aceleração angular da barra. No entanto, sabe-se que

Com a equação 14 é possível calcular a velocidade angular da barra. Finalmente, através da velocidade angular da barra bem como utilizando o princípio da conservação do momento angular, pode-se calcular a velocidade com que o projetil é lançado.

4 - Momento Angular

Considere uma partícula rodando em relação a um eixo de rotação O com velocidade angular ω. Existe uma grandeza física denominada momento angular L (em kg.m²/s no S.I.) em relação ao eixo de rotação O calculado mediante a seguinte equação.

Onde r é o vetor posição cuja origem é o eixo de rotação O e p é a quantidade de movimento. Por sinal, quando a rotação ocorre entorno de um eixo fixo (neste caso, o momento de inércia I é constante), o momento angular pode ser calculado mediante a seguinte equação.

onde I é o momento de inércia em relação a tal eixo fixo de rotação. Finalmente, se a soma dos torques aplicados a esta partícula tiverem uma resultante nula, o momento angular L da partícula se conserva, isto é, L é constante ao longo do tempo.

No caso da catapulta trebuchet, durante o lançamento do projetil (bola de golfe), além do giro em relação ao eixo de rotação da barra, a bola de golfe também irá girar em relação a extremidade da barra. Isto pode ser observado na figura 5. Nota-se também que o momento angular do projetil se conservará durante o lançamento. Daí pode-se equacionar 

onde ω_(barra) é a velocidade angular da barra; r_(bola) é o raio da bola de golfe, L_(cadarço) é o comprimento do cadarço que acopla a bola à extremidade da barra; ω_(F) é a velocidade angular no instante do lançamento. Ademais, sabe-se que a velocidade tangencial pode ser obtida com o raio e a velocidade angular através da equação

Desta forma, calcula-se a velocidade tangencial da bola no instante de lançamento. 

                     

5 - Conservação da Energia Mecânica

Antes de falar da conservação da energia mecânica, é preciso discorrer sobre energia bem como trabalho do ponto de vista físico. Pois bem, de modo geral diz-se que um corpo possui certa quantidade de energia quando o mesmo é capaz de exercer força e realizar trabalho sobre um segundo corpo. Ademais, define-se trabalho W (em joules no S.I.) numa dimensão (eixo X por exemplo) como

Onde x_[i] é a posição do corpo ao longo do eixo X e F_[x](x) é a força resultante sobre o corpo na posição x_[i] paralela ao eixo X. Convém ressaltar que no caso tridimensional, o trabalho W total equivale a soma dos trabalhos em cada dimensão, afinal, sabe-se que todo movimento bidimensional ou tridimensional pode ser analisado como a soma de movimentos independentes em cada dimensão. Por fim, nota-se da equação 20 que no caso bidimensional ou tridimensional apenas a componente da força paralela ao deslocamento realiza trabalho.

Quando forças conservativas, a força gravitacional por exemplo, são as únicas atuantes sobre o sistema, a soma das energias cinética e potencial permanece constante. Isto é, a energia mecânica do sistema permanece constante.

No caso da catapulta trebuchet. Após o lançamento do projetil, a única força atuante sobre ele é justamente a força gravitacional que é conservativa, afinal, nesta teoria é desprezado a resistência do ar. Logo, a energia mecânica do projetil permanece constante. Matematicamente,

Onde h é a altura do projetil no instante de lançamento, m é a massa do projetil, Vo a velocidade de lançamento, I o momento de inércia do projetil, ω a velocidade angular do projetil em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, V_[F] a velocidade com que o projetil atinge o chão.

6 - Alcance Máximo

No instante do lançamento do projetil, o mesmo encontra-se a uma altura h do solo. Isto pode ser visto nitidamente na figura 6. Assim, para calcular o alcance máximo, tal altura deve ser contabilizada. Convém ressaltar que na figura 2 tal altura não é contabilizada, logo, a equação 6 não corresponde ao alcance máximo. Daí analisando o lançamento do projetil.

Figura 6. Lançamento do projetil onde P.I. é a posição inicial do projetil bem como origem do eixo cartesiano e P.F. é a posição final do projetil.

Fonte: London's Global University (adaptado).

Desenvolvendo a equação 4 para este movimento. Tem-se que 

Isolando t na segunda equação e substituindo na primeira, tem-se a seguinte equação do segundo grau em Δx. 

Resolvendo-a para Δx e lembrando que Δx é uma distância, logo, um valor positivo. Tem-se 

Conforme dito anteriormente, o alcance máximo ocorrerá quando o ângulo de lançamento for θ = 45°. Neste caso, o alcance máximo Δx_[max] será dado pela seguinte equação. 

7 - Referências

S. C. Zilio; V. S. Bagnato. Movimento Bi e Tridimensional. Disponível em < http://www.fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book3/Capitulo3.pdf>. Acessado em: 27/07/2018. 

S. C. Zilio; V. S. Bagnato. Trabalho e energia. Disponível em < http://www.fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book3/Capitulo5.pdf>. Acessado em: 27/07/2018. 

S. C. Zilio; V. S. Bagnato. Dinâmica do corpo rígido. Disponível em < http://www.fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book3/Capitulo8.pdf>. Acessado em: 27/07/2018.